על הדעת

הפילוסוף דיוויד יום על תודעת האדם, כיצד אנו מזהים יחסים בין מושאים, על הליקויים מתחום הגיאומטריה ועוד.

קיימים שבעה מינים שונים של יחס פילוסופי והם:
דומי, זהות, יחסים מבחינת הזמן והמקום, יחסי שיעור בכמות או במספר, מדרגות באיכות מן האיכויות, ניגוד וסיבתיות.

יחסים אלו מתחלקים לשני סוגים:
א. יחסים התלויים לחלוטין במושגים שאנו משווים זה אל זה.
ב. יחסים אשר יכולים להשתנות ללא כל שינוי במושגים.

את יחס השיוויון שבין שלוש זוויותיו של משולש ובין שתי זוויות ישרות, אנו מגלים רק מתוך המושג של משולש. ויחס זה אינו יכול להשתנות, כל זמן שהמושג שלנו הוא אותו המושג עצמו.

לעומת זאת, יחסים של סמיכות ומרחק בין שני מושאים, יכולים להשתנות על ידי שינוי מקומם בלבד, בלי כל שינוי במושאים עצמם או במושגיהם. והמקום תלוי בעשרות מקרים שונים שאין בכוחה של הרוח לחזותם מראש.

הוא הדין לגבי – זהות וסיבתיות. שני מושאים, אף אם הם דומים זה לזה לחלוטין, וגם נגלים באותו המקום בזמנים שונים, הם עדיין יכולים להיות נבדלים זה מזה, מבחינת מספרם הסידורי.

וכן, מאחר שהכח שבאמצעותו יוצר מושא אחד איזשהו מושא אחר, לעולם אינו יכול להתגלות מתוך מושגם בלבד, הרי גלוי שסיבה ותולדה, הם יחסים הנודעים לנו מתוך הניסיון, ולא מתוך שכילה או עיון מופשט.

אין אפילו תופעה אחת, גם לא הפשוטה שבפשוטות, שאפשר לבאר את בואה מתוך איכויותיהם של המושאים, כפי שהן נגלות לפנינו, או שיכולים היינו לחזותה מראש ללא העזרה של הניסיון והזיכרון שלנו.

נראה אפוא שמבין שבעת היחסים הפילוסופיים הללו נשארים רק ארבעה, שמאחר שתלויים הם במושגים בלבד, אפשר להם להיות מושא לידיעה ולוודאות.

אלה הם הארבעה:
דומי (דמיון), ניגוד, מדרגות איכות, יחסי כמות ומספר.

שלושת היחסים מבין הראשונים הללו יכולים להתגלות בסקירה ראשונה, ועל פי דין אין מקומם בתחום המופת, אלא מבחינת הנראות.

כשמושאים כלשהם דומים זה לזה, נקלט הדומי בסקירה ראשונה בעין, או נכון מזה – ברוח. ולעתים רחוקות בלבד הוא טעון בדיקה נוספת. הוא הדין ליחסי ניגוד ומדרגות איכות.

שום אדם לא יטיל ספק שהמציאות והיעדר המציאות סותרות זו את זו, אינן עולות בשום פנים, בקנה אחד, ומנוגדות הן בתכלית הניגוד. ואף על פי שאין ביידנו לדון בדיוק על המדרגות של איכות מן האיכויות, כגון: צבע, טעם, חום, קור וכו’, כשההפרש בינהן קטן מאוד. אך בכל זאת יהיה לנו קל לקבוע שהאחת גבוהה מחברתה, כשההפרש ניכר למדי. ודבר זה אנו קובעים בסקירה ראשונה, בלי לחקור בו או לשקול אותו בשכלנו.

באותו אופן יכולנו לנהוג גם בקביעת יחסי השיעור של כמות או מספר. ולציין בסקירה אחת יתרון או חיסרון בין מספרים או בין תבניות. בייחוד כשההפרש גדול מאוד וניכר היטב.

באשר לשוויון או ליחס שיעור מדוייק, הרי על ידי סקירה בודדת, אנו יכולים רק לנחשו, זולת לגבי מספרים קטנים מאוד או לגבי חלקי התפשטות מוגבלים מאוד שאנו תופסים בן רגע, אשר לגביהם ברור לנו שלא נטעה טעות ניכרת.

בשאר כל המקרים, אנוסים אנו לקבוע את יחסי השיעור בחופשיות מסוימת, או לנהוג בדרך מלאכותית מזו.

כבר ציינתי שבגאומטריה, כלומר, האומנות שבעזרתה אנו קובעים את יחסי השיעור התבניות, אף על פי שהיא עולה הרבה, הן מבחינת הכוללות והן מבחינת הדיוק, על המשפטים הרפויים של החושים והדמיון, בכל זאת אינה מגעת לעולם אל מידת הדיוק השלמה.

המושכלות הראשונים שלה שאובים אף הם מן המראה הכללי של המושאים. ומראה זה, לעולם לא יעניק לנו וודאות כשבאה בחשבון הזעירות המופלאה המצויה בטבע.

לכאורה, מקנים לנו חושינו וודאות שלמה שאי אפשר שיהא לשני קווים ישרים קטע משותף (שני קווים ישרים היוצרים זווית), אבל אם נתהה על מושגים אלו, נמצא שלעולם אנו מקדימים להם הנחה בדבר הטיה ניכרת בין שני הקווים. ושכנגד זה, במקום שהזווית הנוצרת על ידיהם קטנה במידה יתירה, אין בידנו אמת מידה של קו ישר מדוייק כל כך, שתערוב לאמיתותו של משפט זה.

הוא הדין לרב המושכלות הראשונים של הגיאומטריה.

וכך נותרות האלגברה ותורת החשבון בבחינת המדעים היחידים שבהם אפשר להמשיך שלשלת של שכילה כל כמה שתהא מסובכת, ועם זה לשמור על דיוק וודאות שלמים.

נתון ביידנו קנה מידה מדוייק שעל פיו יכולים אנו לדון על שיוויונם ועל יחס שיעורם של המספרים. וכפי מה שהם תואמים או אינם תואמים לקנה מידה זה. הרינו קובעים את יחסיהם בלי כל אפשרות של טעות.

כשבנויים שני מספרים באופן כזה שכנגד כל יחידה באחד, נתונה יחידה בשני, הרינו פוסקים שהם שווים. והיעדרו של קנה מידה כזה של שיוויון בהתפשטות, הוא הוא שבעטיו אין לראות את הגאומטריה כמדע מושלם ובלתי שוגה.

ואולם לא למותר, דומני, לתרץ קושיה שאולי תקשו במקום זה: הגיאומטריה, אמרת, חסרה את הדיוק והוודאות השלמים, המיוחדים לתורת החשבון והאלגברה. במה עולה היא איפא על המשפטים הלקויים של חושינו ודמיוננו?

רואה אני ליקוי בגאומטריה מטעם זה שהמושכלות הראשונים והיסודיים שלה שאובים ממראות הדברים גרידא. ואולי תדמו שליקוי זה כרוך בה בהכרח תמיד. ולעולם ימנע ממנה להגיע בהשוואת המושאים או המושגים למידת דיוק גדולה יותר מאשר מסוגלים להגיע אליה עיננו או דמיוננו בפני עצמם.

מודה אני שליקוי זה כרוך בה במידה כזו שהוא מונע ממנה להגיע לעולם לוודאות שלמה, אבל מאחר שמושכלות היסודיים הללו תלויים במראיות שקל ביותר לתפסן והן מטעות פחות מכל, מקנים הם למסקנות הנובעות מהם מידה של דיוק שאינה ניתנת למסקנות כאלה בפני עצמן.

העין אין ביכולתה לקבוע שסכום זוויותיו של מצולע בעל אלף צלעות שווה ל – 1996 זוויות ישרות, או לשער השערה קרובה לסכום זה, אבל כשהיא קובעת שקווים ישרים לא יכולים להיות חופפים, או שאין אפשרות למתוח יותר מקו ישר אחד בין שתי נקודות נתונות, אין טעויותיה את טעויות של מה בכך.

זו טיבה ותפקידה של הגיאומטריה: היא מגוללת לפנינו מראיות כאלה שבתוקף פשטותן אי אפשר להן להביאנו לידי שום טעות ניכרת.

עניין זה של הגיאומטריה נותן לי הזדמנות להעיר עוד הערה על שכילותינו שבדרך המופת.

המתמטיקאים נוהגים לטעון שהמושגים שהם דנים בהם, הריהם בעלי טבע מזוקק ורוחני כל כך, עד שאינם באים בתחום השגתו של הדימיון, אלא מן הצורך שיושגו על ידי הסתכלות צרופה ושכלית שרק כוחות הנפש העליונים מסוגלים לה.

אותה הדעת מהלכים לה ברב חלקי הפילוסופיה, ובעיקר מסתייעים בה כדי לבאר את מושגינו המופשטים, ולהראות איך אפשר לנו ליצור למשל מושג של משולש שאינו לא שווה שוקיים ולא בעל צלעות שונות. וגם אין לצלעותיו אורך ויחסי שיעור מסוימים.

בדרך זו הם מחפים על רבים מרעיונותיהם הבטלים, ומסרבים להישמע לפסק דינם של מושגים ברורים מתוך שהם מסתמכים על מושגים מעורפלים מפוקפקים. אבל כדי לסכל תחבולה זו, אין לנו אלא לעיין בעיקרון שהטמענו פעמים רבות: כל מושגינו מועתקים מרשמינו. כי מכאן יוצא מיד המסקנה, שמאחר שכל הרשמים ברורים ונגדרים, מן ההכרח שהמושגים המועתקים מהם יהיו בעלי אותו הטבע, ולעולם אי אפשר להם, אם לא באשמתנו, להכיל משהו מעורפל ומסובך.

המושג הוא מטבע ברייתו רפה וקלוש מן הרושם, אבל מאחר שמכל בחינה אחרת הוא הוא, אי אפשר שתהיה בו תעלומה גדולה. אם מחמת רפיפותו נעשה הוא מעורפל, מתפקידנו לתקן פגם זה ככל האפשר, על ידי שנשמור על המושג שיהיה מוצק ונגדר, וכל זמן שלא עשינו זאת, לשווא נתאמר שעוסקים אנו בעיון שכלי ובפילוסופיה.