התחלקות אינסופית של החלל והזמן

דיוויד יום, מסכת טבע האדם - מאמר המדבר על ההתפתשטות האינסופית, המושג יחידה והתחלקות החלל והזמן.

בכל מקום שהמושגים הם מוצגים נאותים של מושאים, הרי היחסים, הסתירות וההתאמות בין המושגים, חלים כולם על המושאים, ובדרך כלל אפשר לציין שזהו הבסיס לכל דעה שקונה האדם.

אולם מושגינו הם מוצגים נאותים של חלקי ההתפשטות הקטנים ביותר, ויהיו מה שיהיו החלוקות וחלוקות המשנה שאפשר להניח שבעזרתן מתקבלים חלקים אלו, לעולם לא יכולים להיות נחותי מידה ממושגים מסויימים שאנו יוצרים לעצמנו.

מכאן אנו למדים שכל מה שנראה בלתי אפשרי וסותר את עצמו מתוך השוואת המושגים הללו, מן ההכרח שיהא גם בממשות בלתי אפשרי וסותר את עצמו, בלי כל טענה ומענה.

חלוקה והתפשטות אינסופית

כל דבר הניתן להיות מחולק עד אינסוף, כלל מספר אינסופי של חלקים, אלמלא כן, הייתה החלוקה נעצרת על ידי החלקים הבלתי מתחלקים, שעד מהרה היינו מגיעים אליהם.

לפיכך, אם איזו התפשטות סופית ניתנת לחלוקה עד אינסוף, אי אפשר שתהא סתירה, בהנחה שהתפשטות סופית כוללת מספר אינסופי של חלקים. ולהפך, אם סתירה היא להניח שהתפשטות סופית כוללת מספר אינסופי של חלקים, שום התפשטות סופית אי אפשר שתהא ניתנת לחלוקה עד אינסוף.

אולם הנחה אחרונה זו בטלה ומבוטלת. ההתבוננות במושגים הברורים שלי מראה לי זאת בקלות.

תחילה נוטל אני את המושג הקטן ביותר שאני יכול ליצור לי מחלק של התפשטות, ומאחר שאני בטוח ששום דבר לא יכול להיות קטן יותר מהמושג הזה, הריני מסיק שכל מה שאוכל לגלות בעזרתו, מן ההכרח שהוא איכות ממשית של התפשטות.

ואז שונה אני פעם, פעמיים, שלוש, ועוד ועוד, ומוצא שהמושג המורכב של התפשטות, הנוצר מתוך הישנותו, גדל כל פעם ונעשה כפול, גדול פי שלושה, גדול פי ארבעה, ועוד ועוד, עד שהוא טופח לכדי שיעור ניכר, גדול או קטן יותר, במידה כזו שאותו המושג עצמו נשנה יותר או פחות.

כשאני מפסיק את חיבור החלקים, פוסק מושג ההתפשטות מלגדול, ואילו המשכתי את החיבור עד אינסוף. הרי תופס אני בבירור שמושג ההתפשטות מוכרח גם הוא להיות אינסופי.

מכל זה אני מסיק שהמושג של מספר אינסופי של חלקים, הוא אחד וזהה עם המושג של התפשטות אינסופית. ועוד, ששום התפשטות סופית אינה יכולה לכלול מספר אינסופי של חלקים. ולפיכך גם ששום התפתשטות סופית אינה ניתנת להתחלק עד אינסוף.

על כך אוכל להוסיף עוד טענה אחרת שהציע מחבר מפורסם, טענה שבעיני היא חזקה ונאה מאוד.

יחידות

גלוי שהמציאות כשלעצמה, שייכת רק ליחידה, ושלעולם אינה חלה על המספר, אלא בתוקף היחידות שמהן המספר מורכב. אפשר לומר על עשרים איש שהם נמצאים, אולם אין זה אלא מפני שאחד, שנים, שלושה, ארבעה וכו’, נמצאים. ואם כופר אתה במציאות של הללו, נהרסת כמובן גם מציאותם של אותם עשרים איש הנזכרים.

לפיכך, בטל ומבוטל הוא להניח את מציאותו של מספר כלשהו ועם זה לכפור במציאות של היחידות.

והועיל וההתפשטות היא תמיד מספר, כפי הדעה המשותפת למטאפיזיקאים, ולעולם אינה מתפרקת עד לכדי יחידה, או כמות בלתי מתחלקת, הרי יוצא שלעולם אין ההתפשטות יכולה להימצא כלל.

לחינם תשיבו שכל כמות מסויימת של ההתפשטות היא יחידה, אלא שהיא יחידה המניחה מקום למספר אינסופי של שברים, והבלתי מתמצא מבחינת חלוקות המשנה שלה, כי על פי כלל זה, עשרים איש אלו אפשר לראותם כיחידה. כדור הארץ כולו ואף עולם ומלואו, אפשר לראותו כיחידה.

השם “יחידה” אינו אלא כינוי בעלמא שרוחנו יכולה להשתמש בו, לגבי כל כמות של מושאים שהיא מקבצת יחד. ויחידה כזו אינה יכולה להימצא בפני עצמה, בדיוק כמו שהמספר אינו יכול, כי על פי האמת הרי היא מספר ממש.

אולם היחידה שבכוחה להימצא בפני עצמה ושמציאותה הכרחית למציאותו של כל מספר, היא ממן אחר, ומן ההכרח שתהא בלתי ניתנת לחלוקה, ובלתי נתנת לפירוק לאף יחידה קטנה ממנה.

שכילה זו כולה חלה גם על הזמן, אך יש גם טענה נוספת שכדאי לציינה.

התחלקות והתפשטות אינסופית של החלל והזמן

הרי זו תכונה בלתי נפרדת מן הזמן, תכונה הקובעת באופן מה את מהותו, שכל חלק מחלקיו בא אחר חברו, ושלעולם אי אפשר שיהיו בהם חלקים נמצאים ביחד, כל כמה שהם סמוכים זה לזה.

מאותו הטעם ששנת 1737 אינה יכולה לחול יחד עם שנת 1738 של עכשיו, גם כל רגע ורגע מובחן בהכרח מחברו ובא אחריו או לפניו.

וודאי איפוא שהזמן, על פי דרך מציאותו, מורכב בהכרח מרגעים בלתי מתחלקים. כי אם לא היינו יכולים לעולם להגיע בתוך הזמן אל סופה של החלוקה, ואילו לא היה כל רגע, בשעה שהוא בא אחר חברו, יחיד ובלתי מתחלק לחלוטין, היה נתון מספר אינסופי של רגעים או של חלקי זמן הנמצאים ביחד.

והרי תודו דומני שזוהי סתירה בולטת.

התחלקותו האינסופית של החלל גוררת את התחלקותו האינסופית של הזמן, כמו שגלוי מתוך טבע התנועה. לפיכך, אם השניה בלתי אפשרית היא, בהכרח גם הראשונה בלתי אפשרית כמוה.

הוכחה מופתית

איני משוכנע שהפרקליט המושבע ביותר של משנת ההתחלקות האינסופית לא יהסס להודות שטענות אלו הן קשיים, ושמן הנמנע להשיב עליהן תשובה כלשהי שתהא ברורה כל צרכה ומניחה את הדעת.

אולם מן הדין לציין כאן שאין לך דבר בטל מן המנהג לקרוא בשם קושי למה שמתאמר להיות מופת, כדי להתעלם בדרך זו מכוחו ומגלותו.

אין המופת דומה לאומדנות. בעיונים המיוסדים על האומדנות יש מקום לקשיים, ויכולה טענה אחת להיות שקולה כנגד חברתה ולגרוע מסמכותה. אולם מופת, ובלבד שיהא נכון, אינו מניח מקום לקושי שכנגד. ואם אינו נכון, אינו אלא הטעאה גרידא, ולפיכך אי אפשר כלל שיהא בבחינת קושי. או הוא בעל כח כפיה או שאין לו כח כלל.

לדבר על פרכות ותשובות, ועל טענות שקולות זו כנגד זו, לגבי שאלה ממין זה, פירושו איפא להודות, או ששכל האדם אינו אלא משחק של מילים, או שהמדבר עצמו אין לו כושר השגה בנושאים כאלה.

אפשר להתקשות בהבנת מופתים מחמת מידת המופשטות של הנושא, אבל משעה שמבינים אותם, אי אפשר כלל שיעוררו קשיים העלולים לקפח את סמכותם.

אמנם רגילים המתמטיקאים לומר שמצויות טענות חזקות באותה מידה בצד האחר של השאלה, ושמשנת הנקודות הבלתי מתחלקות מעלה גם היא פרכות שאין לתרץ אותן.

טרם אבדוק טענות אלו בפורטרוט, אדון כאן בכולן יחד, ואנסה להוכיח במוחי אחד, על ידי שכילה קצרה וניצחת, שמן הנמנע בהחלט שיהא להן יסוד צודק כלשהו.

 

כלל מקובל במטאפיזיקה: כל מה שהרוח משגת בבירור כולל בתוכו את המושג של מציאות אפשרית, או בלשון אחרת: שום דבר ממה שאנו מדמים, אינו בלתי אפשרי בהחלט.

יכולים אנו ליצור לנו את המושג “הר זהב”, ומכאן אנו למדים שהר כזה אפשרי להימצא בפועל. אין אנו יכולים ליצור מושג של הר, בלי עמק. ולפיכך רואים אנו הר כזה כבלתי אפשרי.

והנה אין ספק שיש לנו מושג של התפשטות, שאם לא כן, על שום מה אנו מדברים עליה ודנים בה? כן וודאי שמושג זה כפי שיושג על ידי הדמיון, אף על פי שהוא ניתן להתחלק לחלקים או למושגים הנופלים ממנו במידתם, הרי אינו ניתן להתחלק עד אינסוף, ואינו מורכב ממספר אינסופי של חלקים, כי דבר זה עובר את התחום של כושר ההשגה המוגבל שלנו.

אם כן, הרי לפנינו מושג של התפשטות, המורכב מחלקים או ממושגים הנופלים ממנו במידתם, שהם בלתי מתחלקים לחלוטין. לפיכך, מושג זה אינו כולל סתירה. לפיכך גם, ניתן שתהא ההתפשטות נמצאת באורח ממשי בהתאם למושג הזה. ולפיכך, כל הטענות שטוענים נגד אפשרותן של נקודות מתימטיות, אינן אלא פלפולים בדרכי האסכולה, ואינן ראיות לשימת ליבנו.

נוכל לפסוע בדרך זו עוד פסיעה לפנים ולהסיק שכל המופתים כביכול המיועדים להוכיח את התחלקותה האינסופית של ההתפשטות, הם הטעאות במידה זו עצמה. שהרי וודאי שאין מופת כזה יכול להיות נכון בלי להוכיח את אי אפשרותן של נקודות מתימטיות. וכל המתאמר להוכיח זאת, מדבר דברים בטלים בפירוש.


 

תוכן קשור