הפרדוקסים של זנון

שלושה פרדוקסים של זנון: פרדוקס החץ, פרדוקס אכילס והצב ופרדוקס התנועה במרחב, עם הערות והסברים.

פרדוקס אכילס והצב

בפרדוקס זה מציע זנון תחרות ריצה בין הגיבור האגדי אכילס לבין צב. אכילס לא רק מהיר מהצב אלא גם נדיב (שלא לומר יהיר) ועל כן הוא מציע לצב להתחיל את התחרות עם “פור” התחלת של מאה מטרים.

אכילס מגלה לתדהמתו כי עם כל המהירות שלו הוא אינו מצליח להשיג את הצב. הסיבה לכך היא שגם אם אכילס רץ במהירות גבוהה פי עשרה מהצב, בזמן שהוא יגמע את מאה המטרים הראשונים, הצב יתקדם עשרה מטרים.

וכך הלאה עד שאכילס יגמע את עשרת המטרים הללו, הצב יספיק לעבור עוד מטר וכך הלאה עד אינסוף כאשר אכילס למעשה לעולם לא יוכל להשיג את הצב.

הסבר:

הפרדוקס מחלק את הריצה של אכילס למספר אינסופי של שלבים. המרחק הראשון אותו עבר אכילס הוא 100 מטרים (במשך 10 שניות), ובזמן זה עבר הצב 10 מטרים, המרחק השני אותו עבר אכילס הוא 10 מטרים (עשירית מהמרחק הקודם, במשך שנייה אחת), ובזמן זה עבר הצב מטר אחד, המרחק השלישי אותו עבר אכילס הוא מטר אחד (במשך עשירית שנייה), ובזמן זה עבר הצב 10 ס”מ, וכך הלאה, כל איבר בסדרה הוא 1/10 מקודמו. ומשום שהיחס בין הצב לאכילס נשאר קבוע, יוצא שהפער בין אכילס לצב מצטמצם תמיד, כלומר, אכילס מצמצם את הפער בינו לבין הצב באופן תמידי, שואף לאינסוף.

ההסבר לפרדוקס הוא שאנו מסתכלים על המערכת בזמן שמתכנס ל – 11.11111 שניות, ובזמן הזה, לעולם לא נראה את אכילס עוקף את הצב. ככל שהמרחקים קצרים, כך גם הזמן מתקצר.

גרסה נוספת – תנועת המחוגים

גרסה אנלוגית לפרדוקס אכילס והצב, ואשר אנו עדים לה בחיי היומיום, היא תנועת המחוגים של שעון קיר. בשעה 12:00 מורים שני המחוגים באותו כיוון (12), ומרגע זה מתחיל ביניהם מירוץ, כשמחוג הדקות (אכילס) מנסה להשיג את מחוג השעות (הצב), שניתנת לו בתחילת המירוץ מקדמה של סיבוב שלם. מאחר שמחוג הדקות נע במהירות הגבוהה פי 12 מזו של מחוג השעות, הרי שבהשלים מחוג הדקות סיבוב אחד (60 שנתות), הספיק מחוג השעות להתקדם 5 שנתות, והוא מורה בכיוון המספר 1 שעל לוח השעון.

כאשר מגיע מחוג הדקות אף הוא לאותו מקום, ומורה בכיוון המספר 1, הספיק מחוג השעות להתקדם בינתיים עוד כמחצית השֶנֶת, והוא עדיין מוביל. וכן הלאה וכן הלאה, בדומה לניסיונו של אכילס להשיג את הצב, מנסה מחוג הדקות להשיג את מחוג השעות, אך בכל פעם שהוא מגיע למקומו הקודם של מחוג זה, מצליח מחוג השעות להתקדם עוד קצת.

יוצא מכאן שמחוג הדקות לעולם לא יצליח להשיג אותו. זאת בסתירה מוחלטת לידיעתנו שהוא עושה זאת שוב ושוב במהלך היממה.

פרדוקס החץ

אדם יורה חץ למטרה. בכל רגע נתון החץ נמצא בנקודה מסוימת במרחב ועל מנת להימצא באותה נקודה ברגע מסוים, הרי שהחץ חייב להיות במצב של מנוחה, דומם. יוצא שהחץ למעשה תמיד נמצא במצב של מנוחה, כי בכל רגע הוא נמצא בנקודה כלשהי, ועל כן אינו יכול להתקדם.

הסבר:

בכל רגע שנבדוק את החץ במעופו, הוא נמצא במקום מסוים והוא במצב של מנוחה וללא תזוזה, מאחר שתנועה כלשהי, ותהיה קצרה ככל שתהיה, אורכת פרק זמן מסוים, הרי שברגע נתון מסוים – 0 יחידות זמן, החץ נמצא במנוחה.

ברור לנו שזה לא הגיוני, ואם החץ אינו נע באף באחד מרגעים אלו, אז הוא אינו הוא נע כלל, ולכן תנועתו היא אשליה.

פרדוקס התנועה במרחב

על מנת להגיע מא’ לב’ אנחנו חייבים ראשית לעבור את מחצית המרחק בניהם, ואת מחצית המרחק למחצית המרחק וכן הלאה. נמצא שיש אינסוף נקודות בין א’ ל-ב’ ולכן התנועה בניהם היא בלתי אפשרית.

הסבר:

פרדוקס זה דומה לקודמו בכך שהוא מפרק תהליך סופי לאינסוף תהליכים שהולכים וקטנים. בנוסף, הפרדוקס מתבסס על ההנחה האינטואיטיבית שלכל אוסף של נקודות יש נקודה ראשונה אותה יש לעבור. הנחה זו היא שגויה – אין מספר חיובי מינימלי, מכיוון שלאחר הספרה 0, המספר החיובי הראשון הוא 0.0000000… עד אינסוף. כלומר לא ניתן למנות את הספרה החיובית הראשונה לאחר הספרה 0.