המלון של הילברט

המלון של הילברט הוא סיפור שהשתמש בו המתמטיקאי דויד הילברט כדי להמחיש את התכונות הייחודיות של קבוצות אינסופיות.

המלון של הילברט (מאת: דויד הילברט)

ישנו מלון מיוחד שחדריו ממוספרים בסדר עולה מ -1 ועד אינסוף, והמלון נמצא בתפוסה מלאה. כלומר, כל החדרים במלון תפוסים.

כעת מגיע לקוח נוסף למלון ומבקש חדר. בעל המלון כמובן אינו מעוניין לגרום ללקוח כעס ואי נעימות, וממילא המלון שלו הוא אינסופי, כך שלא אמורה להיות שום בעיה. בעל המלון מבקש מהאורח שנמצא בחדר 1 לעבור לחדר 2, ומהאורח שנמצא בחדר 2 לעבור לחדר 3, ומחדר 3 לעבור לחדר 4 וכן הלאה. הדבר אפשרי משום שיש אינסוף חדרים. וכעת התפנה חדר מס’ 1 וניתן לאכלס בו את הלקוח החדש.

מיד לאחר מכן מגיעה למלון סדרה אינסופית של אורחים, אולם בעל המלון רב התושיה מצליח לשכן גם אותם: הוא מבקש מהאורח בחדר 1 לעבור לחדר 2, מהאורח בחדר 2 לעבור לחדר 4, מהאורח בחדר 3 לעבור לחדר 6 וכן הלאה. ובצורה הזאת, כל האורחים שהיו עד עכשיו במלון עברו לחדרים הזוגיים, ואילו את האורחים החדשים ניתן לשכן במספר האינסופי של החדרים האי-זוגיים שהתפנו.

כעת מגיעה למלון סדרה אינסופית של אוטובוסים, שבכל אחד מהם סדרה אינסופית של אורחים חדשים. אולם בעל המלון מצליח להתגבר גם על זה: ראשית, הוא מרוקן שוב את החדרים האי-זוגיים, כפי שראינו קודם. כעת, הוא משכן את כל חברי הקבוצה הראשונה בחדרים שמספרם הוא חזקה טבעית של 3. ואת חברי הקבוצה השנייה בחדרים שמספרם הוא חזקה טבעית של 5, וכן הלאה, כאשר הוא משתמש אך ורק בחזקות של מספרים ראשוניים אי-זוגיים (ולכן מספרי החדרים כולם אי-זוגיים ואין התנגשות עם האורחים שכבר היו במלון).

מכיוון שלכל מספר טבעי יש פירוק יחיד למספרים ראשוניים (על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה), הרי שלא ייתכן שמספרו של חדר אחד יהיה חזקה של שני מספרים ראשוניים שונים, ולכן השיכון של האורחים במלון מבטיח שלכל אחד יהיה חדר משלו.

הפירוש המתמטי של הסיפור

הילברט בא לתאר בסיפור זה את הדרך הלא-אינטואיטיבית שבה מתנהג האינסוף בתורת הקבוצות. ה”מלון” שלו הוא קבוצת המספרים הטבעיים, שעוצמתה מסומנת כ – א0.

כל אחד משלושת המקרים מראה כיצד פעולה אריתמטית מסוימת על העוצמה (כלומר, על גודל הקבוצה) משאירה אותה ללא שינוי. בין הקבוצה שמתקבלת (כל האורחים הקיימים, כולל האורחים החדשים) ובין המספרים הטבעיים (חדרי המלון) קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל – ועל כן הקבוצות שקולות, ועוצמתן זהה.

  • במקרה הראשון מתווסף אורח אחד, ולכן קבוצת כל אורחי המלון היא א0 + 1 .
    הילברט משתמש בפונקציה f ( x ) = x + 1 בין קבוצת האורחים (אם נניח שהאורח החדש ממסופר 0) ובין קבוצת החדרים.
    מכאן עולה כי א0 + א0 = א0. יתרה מזו, למעשה מתקיים א0 = א0 + 1 לכל מספר טבעי – n.
    הדבר שקול לאמירה “אם מוסיפים איבר נוסף לקבוצת המספרים הטבעיים, מתקבלת קבוצה בעלת אותה עוצמה”.
  • במקרה השני מתווסף מספר בן מנייה א0 של אורחים חדשים. ההתאמה של הילברט במקרה זה מראה כי: א0 + א0 = א0.
    הדבר שקול לאמירה “עוצמת האיחוד של שני עותקים של המספרים הטבעיים (כגון, לבן ושחור) שווה לזו של המספרים הטבעיים עצמם”.
  • במקרה השלישי מתווסף מספר בן מנייה המוכפל במספר בן מנייה של אורחים חדשים, והילברט מראה כי: א0 * א0 + א0 = א0.

בעל המלון אינו כל יכול – אם למלון הייתה מגיעה קבוצת אורחים שעוצמתה היא עוצמת הרצף, כלומר עוצמת המספרים הממשיים, הוא לא היה מצליח לשכן אותם. עוצמת הרצף גדולה מאלף אפס ולכן אין דרך להתאים חדר שונה לכל אורח.

קישור לעמוד הויקיפדיה של המונח