פרדוקסים בתורת היחסות

שני ניסויי מחשבה שהגה אלברט אנשטיין על תורת היחסות: פרדוקס הרודף והנרדף ופרדוקס התאומים. וגם על ניסוי השעונים.

פרדוקסים וניסויי מחשבה בתורת היחסות.

לפי תורת היחסות הפרטית של אינשטיין, מהירות האור קבועה ומוחלטת עבור כל מי שצופה באור, ללא קשר למהירות התנועה של הצופה בעצמו. האם קביעה זו בהכרח נכונה?

פרדוקס הרודף והנרדף

אדם הרודף אחרי אדם אחר, הנע במהירות האור. בהנחה שמהירות האור קבועה, אף על פי שהאדם הראשון מאיץ ומהירותו גוברת, הוא תמיד רואה את הנרדף מתרחק ממנו באותה מהירות, מפני שהנרדף נע במהירות האור שהיא קבועה, ללא קשר למהירות הצופה (הרודף במקרה שלנו), ביחס אליה. זאת אומרת שהרודף אמנם מגביר את המהירות שלו, אך אעפ”כ, הוא אינו מצמצם את הפער בינו לבין הנרדף, מנקודת מבטו האישית.

ומנקודת מבט אחרת, אדם מתבונן במרדף שלהם מהצד, והוא רואה כיצד הרודף מגביר את מהירותו ומצמצם את פער המהירות בינו לבין הנרדף. אז בעצם יוצא מצב שהרודף רואה את הנרדף מתרחק ממנו במהירות האור מכיוון שמהירות האור קבועה, ואילו אדם שמתבונן באירוע מהצד, רואה שני אנשים הנעים במהירות כמעט זהה.

איך יתכן ששני צופים יראו את אותו אירוע בצורה כ”כ שונה?

כדי לפתור את פרדוקס הרודף והנרדף, צריך לגרום למוחו של הרודף להאט. הזמן מאט את קצב התקדמותו מנקודת המבט של הרודף, ולכן הוא רואה את הנרדף ממשיך להתרחק ממנו במהירות האור. כל אחד מהם חווה קצב זמן שונה ביחס לאחר. כלומר דמיינו שהרודף עובר בהדרגה למצב של “הילוך איטי” והנרדף ממשיך בקצב רגיל.

את התמונה הזו, של רודף המתקדם בהילוך אטי ונרדף הממשיך בקצב רגיל, איש אינו רואה, שהרי מבחינת הרודף, קצב התקדמות הזמן שהוא תופס הוא הקצב הרגיל שלו. וכך גם קצב התקדמות הזמן מבחינת הנרדף. אף על פי שקצב הזמן של כל אחד מהם שונה, כל אחד מהם תופס את קצב התקדמות הזמן באופן הרגיל משום שגם המוחות שלהם פועלים בקצב היחסי הזה.

ואולם מבחינה פיזיקלית, הרודף מאט את הקצב ואילו הנרדף ממשיך בקצב הרגיל שלו, ולכן, מנקודת המבט של הרודף, הנרדף מתרחק במהירות אדירה ממנו. ואילו הצופה מהצד, שאינו נמצא בתנועה וקצב הזמן שהוא חווה הוא קבוע, רואה מרדף צמוד מאוד בין השניים.

מכיוון שתנועה מורכבת מזמן וגם ממרחק, גם המרחב עצמו חייב להשתנות כדי שהתמונה תהיה בהירה יותר. ועל כן, כדי להשלים את התמונה טען איינשטיין שהמרחב אף הוא מתכווץ, בהתאם למהירות התנועה של הצופה (כל אחד מהמשתתפים – הרודף, הנרדף והצופה מהצד, חווים את המרחב באופן שונה).

ככל שגוף נע מהר יותר, הזמן שלו עובר לאט יותר מהזמן של גוף אחר הנע במהירות נמוכה יותר. כלומר איינשטיין ביטל את הזמן והמרחב המוחלטים של ניוטון: אין זמן שנע באופן אחיד וזהה בכל היקום בשביל כל הגופים, אלא הזמן הוא יחסי לתנועה של הגוף. אין מרחב אחיד וזהה בכל היקום בשביל כל הגופים, אלא המרחב הוא יחסי לתנועה של הגוף. רק התכווצות והתרחבות של המרחב והזמן ביחס לגוף יכולות לאפשר את תופעת המהירות הקבועה והמוחלטת של האור.

ניסוי השעונים

בשנת 1971 הועלה שעון אטומי, שהוא שעון מדויק מאוד, למטוס שטס במהירות בגובה רב. לאחר שנחת השוו בינו לבין שעון אטומי זהה שנשאר על הקרקע. הניסוי אישש את התורה של איינשטיין. בסתירה מוחלטת לאינטואיציה הרווחת, השעון שבמטוס הראה שהזמן חלף בו בקצב אטי יותר מהזמן שחלף על פני הקרקע. כלומר הזמן במטוס לא התקדם בקצב של הזמן על הקרקע והיה יחסי לתנועה של המטוס.

על פי תפיסת המרחב והזמן המוחלטים של ניוטון, אם נעצור את היקום ברגע מסוים נוכל לראות את כל האירועים שמתרחשים ביקום באותו רגע. היקום מופיע כתמונה קפואה של כל האירועים ברגע הנתון, וכל אירוע כזה מתרחש באופן סימולטני עם כל אירוע אחר.

בזמן שאנחנו יושבים בכורסה וקוראים ספר מתרחשים אירועים ביקום כולו, וכל האירועים הללו הם בו־זמניים בשביל כל הצופים ביקום. אולם אחרי שהכרנו את תורת היחסות הפרטית אנחנו יודעים שלכל צופה יש קצב זמן שונה, בהתאם למהירות ולכיוון של תנועתו. על כן, שני צופים הנעים במהירויות שונות יחוו את הזמן, במסגרת ממדי המרחב־זמן, באופן שונה מאוד.

במקרה זה, לכל אחד מהם יהיה אוסף אירועים שונה לחלוטין שייחשב בעיניו בו-זמני. בעבור כל צופה יהיו לאירוע מסוים קואורדינטות מרחב־זמן שונות, ולכן הוא לא יהיה סימולטני בעבורם. אין יותר “עכשיו” או רגע מוסכם שהוא ה”עכשיו” של כל הצופים ביקום. לכל צופה יש פרוסת “עכשיו” שונה של היקום.

פרדוקס התאומים

היום כבר לא מדובר בפרדוקס, והשאלות שעלו בניסוי מחשבתי זה, קיבלו תשובה פיזיקלית ולוגית.

ניסוי המחשבה הזה מבוסס על דברים שאמר איינשטיין עצמו, מבלי להכתיר את התופעה כפרדוקס, בנוגע לשני שעונים. בהמשך התפתחו הדברים לניסוי מחשבה המתייחס לזוג תאומים.

הסיפור פשוט: תאום אחד נשלח לחלל במהירות הקרובה למהירות האור ומשאיר מאחוריו, על כדור הארץ, את אחיו התאום. מבחינת התאום האסטרונאוט, המסע לחלל ובחזרה נמשך כמה שנים ולאחריהן הוא חוזר בציפייה לפגוש את אחיו. אך כאשר הוא נוחת על כדור הארץ הוא מגלה לתדהמתו שהזמן שחלף על פני הכדור ארוך משמעותית מהזמן שחלף בחללית שלו, ועתה אחיו התאום מבוגר ממנו באופן משמעותי.

תוצאת ניסוי המחשבה הזה נובעת מתורת היחסות: האסטרונאוט התאום נע במהירות גבוהה מאוד, ולכן קצב הזמן שלו הואט משמעותית בהשוואה לקצב הזמן על פני כדור הארץ. על כן, הזמן שעבר בחללית היה קצר מהזמן שחלף על פני כדור הארץ. התאום האסטרונאוט הגיע לעתיד של כדור הארץ. סיפור זה הוא דוגמה ברורה לאפשרות, התיאורטית לפחות, של מסע אל העתיד.